Question

已知圆的方程为x²+y²-6x-8y=0；a₁，a₂，…，a₁₁是该圆过点（3，5）的11条弦的长，若数列a₁，a₂，…，a₁₁是等差数列，则数列a₁，a₂，…，a₁₁的公差的最大值为

 

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，当a₁为最短的一条弦，a₁₁为最长的一条弦时，数列a₁，a₂，…，a₁₁的公差达到最大，根据图形求出最短的弦长得到数列首项a₁的值，最长的弦为圆的直径，由直径的值即可得到a₁₁的值，根据等差数列的性质可知a₁₁减去a₁的值等于10倍的公差d，列出关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的最大值．

解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x-3）²+（y-4）²=25，
所以圆心A（3，4），圆的半径r=5，
根据题意画出图象，如图所示：
得到弦DE为过点F（3，5）最长的弦即为圆的直径等于10，则a₁₁=10，
弦BC为过点F（3，5）最短的弦，又|AB|=5，|AF|=1，
则|BC|=2|BF|=2

52-1

=4

6

，即a₁=4

6

，
根据等差数列的性质得：10d=10-4

6

，解得d=1-

2 6

5

．
则数列a₁，a₂，…，a₁₁的公差的最大值为1-

2 6

5

．
故答案为：1-

2 6

5

点评：此题考查学生灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，要求学生掌握等差数列的性质，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．找出最长的弦和最短的弦是求最大公差的关键．