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已知两点A(-2,1),B(1,5),点C是圆(x-1)2+(y+2)2=9上的动点,则△ABC面积的最大值为(  )
A、36B、18C、16D、8
考点:直线与圆的位置关系
专题:直线与圆
分析:与直线AB平行,且与圆相切时的切点为C时,三角形ABC面积最大,求出即可.
解答: 解:设与直线AB平行,且与圆相切的直线方程斜率为k,方程为y=kx+b,
根据A(-2,1),B(1,5),得到k=
5-1
1-(-2)
=
4
3
,即y=
4
3
x+b,即4x-3y+3b=0,
由圆的方程得:圆心(1,-2),半径为3,
∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离d=r,即
|4+6+3b|
5
=3,
解得:b=
5
3
(不合题意,舍去)或b=-
25
3

此时直线方程为y=
4
3
x-
25
3
,即4x-3y-25=0,
∴点A到直线距离为
|-8-3-25|
5
=
36
5
,|AB|=
(-2-1)2+(1-5)2
=5,
则△ABC面积的最大值为
1
2
×5×
36
5
=18.
故选:B.
点评:此题考查了直线与圆的位置关系,解题的关键是根据题意得出与直线AB平行,且与圆相切时的切点为C时,三角形ABC面积最大.
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2
a
3
2
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3
2
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3
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1
3
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