Question

已知曲线S：y=-

2

3

x³+x²+4x及点P（0，0），求过点P的曲线S的切线方程．

Answer 1

分析：求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程．

解答：解：设过点P的切线与曲线S切于点Q（x₀，y₀），则过点P的曲线S的切线斜率
k=f′(x0)=-2

x

2 0

+2x0+4，又kPQ=

y0

x0

，所以-2

x

2 0

+2x0+4=

y0

x0

．①
因为点Q在曲线S上，所以y0=-

2

3

x

3 0

+

x

2 0

+4x0②，
②代入①得

- 2 3 x 3 0 + x 2 0 +4x0

x0

=-2

x

2 0

+2x0+4，化简，得

4

3

x

3 0

-

x

2 0

=0，
解得x₀=0或x0=

3

4

若x₀=0，则k=4，过点P的切线方程为y=4x；
若x0=

3

4

，则k=

35

8

，过点P的切线方程为y=

35

8

x，
所以过点P的曲线的切线方程为y=4x或y=

35

8

x，

点评：导f'（x₀）的几何意义是曲线数y=f（x）在某点x₀处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，
求过点p（x₀，y₀）的切线方程时，一要注意p（x₀，y₀）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条．