Question

用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数：
（1）能够组成多少个万位不排数字3的五位奇数？
（2）能够组成多少个大于21345的正整数？

Answer 1

解：（Ⅰ）分成两类：（1）把3排在个位，其他数字全排列共有A₄⁴；
（2）把3排在十、百或千位，把1或5排在个位，其他为3的全排列共有A₃¹•A₂¹•A₃³．
∴组成万位不排数字3的五位奇数共有A₄⁴+A₃¹•A₂¹•A₃³=60
（Ⅱ）由题意知可以采用排除法
∵所有的五位正整数共有A₅⁵个
比21345小的有A₄⁴+1个
∴能够组成大于21345的正整数有A₅⁵-（A₄⁴+1）=95个．
分析：（Ⅰ）因为条件中对于3有限制，所以针对于3分成两类①把3排在个位，其他数字全排列共有A₄⁴，②把3排在十、百或千位，把1或5排在个位，其他为3的全排列共有A₃¹•A₂¹•A₃³，根据分类计数原理得到组成万位不排数字3的五位奇数的个数．
（Ⅱ）由题意知可以采用排除法，即写出所有的没有重复数字的五位数，减去不合题意的数字，所有的五位正整数共有A₅⁵个比21345小的有A₄⁴+1个，相减得到结果．
点评：本题的第二问也可以这样解，用直接法A₃¹•A₄⁴+A₃¹•A₃³+A₂¹•A₂²+1=95个，即直接从问题的正面来求解．