Question

3．已知全集U=R，集合A={x|y=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{\sqrt{5-x}}$}，B={x|1＜x-1＜7}，C={x|-a＜x≤a+3}．
（1）求A∪B，（∁_RA）∩B；
（2）若C∪A=A，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过求函数$y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{5-x}}$的定义域便可得出集合A={x|1≤x＜5}，再求出集合B，然后进行并集、补集，及交集的运算即可；
（2）由C∪A=A便可得到C⊆A，从而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{-a≥1}\\{a+3＜5}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出a的取值范围．

解答 解：（1）解$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{5-x＞0}\end{array}\right.$得，1≤x＜5；
∴A={x|1≤x＜5}，B={x|2＜x＜8}；
∴A∪B={x|1≤x＜8}，∁_RA={x|x＜1，或x≥5}；
∴（∁_RA）∩B={x|5≤x＜8}；
（2）∵C∪A=A；
∴C⊆A；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a≥1}\\{a+3＜5}\end{array}\right.$；
∴a≤-1；
∴a的取值范围为：（-∞，-1]．

点评 考查描述法表示集合，以及交集、并集和补集的运算，以及交集、子集的定义．