Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sinωx-$\sqrt{2}$cosωx（ω＜0），若y=f（x+$\frac{π}{4}$）的图象与y=f（x-$\frac{π}{4}$）的图象重合，记ω的最大值为ω₀，函数g（x）=cos（ω₀x-$\frac{π}{3}$）的单调递增区间为（　　）

• A． [-$\frac{1}{3}$π+$\frac{kπ}{2}$，-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）
• B． [-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）
• C． [-$\frac{1}{3}$π+2kπ，-$\frac{π}{12}$+2kπ]（k∈Z）
• D． [-$\frac{π}{12}$+2kπ，-$\frac{π}{6}$+2kπ]（k∈Z）

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用余弦函数的单调性，求得函数g（x）的增区间．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{2}$sinωx-$\sqrt{2}$cosωx（ω＜0）=2sin（ωx-$\frac{π}{4}$），
若y=f（x+$\frac{π}{4}$）的图象与y=f（x-$\frac{π}{4}$）的图象重合，
则$\frac{π}{2}$为函数f（x）的周期，即$\frac{π}{2}$=k•|$\frac{2π}{ω}$|，∴ω=±4k，k∈Z．
记ω的最大值为ω₀，则ω₀=-4，
函数g（x）=cos（ω₀x-$\frac{π}{3}$）=cos（-4x-$\frac{π}{3}$）=cos（4k+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ-π≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，
故函数g（x）的增区间为[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$，$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
故选：A．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，余弦函数的单调性，属于中档题．