Question

4．等腰直角三角形ABC中，A=90°，AB=AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=3DC，则$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=4．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$，代入数量积运算．

解答 解：∵AB⊥AC，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=（$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$²=$\frac{1}{4}×4$+$\frac{3}{4}×4$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，属于基础题．