Question

（03年上海卷）（14分）

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.

   （1）求向量的坐标；

   （2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；

   （3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.

Answer 1

解析：（1）设得

  

   所以v－3>0,得v=8,故={6，8}.

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：

由条件可知圆的标准方程为：(x－3)²+y(y+1)²=10, 得圆心（3，－1），半径为.

设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则

故所求圆的方程为(x－1)²+(y－3)²=10.

（3）设P (x₁,y₁), Q (x₂,y₂) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则

故当时，抛物线y=ax²－1上总有关于直线OB对称的两点.