【题目】某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床,A型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年).若第 1 年A型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年A型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用()表示A型车床在第n年创造的价值.
(1)求数列的通项公式;
(2)记为数列的前n项的和,企业经过成本核算,若 万元,则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A型车床?(已知:若正数数列是单调递减数列,则数列也是单调递减数列).
【答案】(1) ();(2)12
【解析】
(1)由题意可得:第1年至第6年时为递减等差数列,易求;从第7年开始为以为首项,公比的等比数列,则可求得;
(2)由(1)知数列是单调递减数列,则也是单调递减数列,当时,易求100万元;当时,通过计算判断万元,万元,则可得第12年年初更换车床.
(1)由题意可得在第1年至第6年时数列为以为首项,公差的等差数列,所以可得在第7年开始数列是以为首项,公比的等比数列,则可求得,
综上可得数列的通项公式 ();
(2)由(1)知数列是单调递减数列,则由题意得新数列即也是单调递减数列,当时,(万元),所以前六年不用更换车床;
当时,
由(万元),(万元),且是单调递减数列,可得当时,(万元)恒成立,所以该企业必须在第12年年初更换车床.
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【题目】已知椭圆的左.右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形的边长为 的正方形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若,分别是椭圆长轴的左,右端点,动点满足,连结,交椭圆于点.证明: 的定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问轴上是否存在异于点,的定点,使得以为直径的圆恒过直线,的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位:万吨)的折线图.
注:年份代码分别表示对应年份.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数(线性相关较强)加以说明;
(2)建立与的回归方程(系数精确到0.01),预测2019年该区生活垃圾无害化处理量.
(参考数据),,,,,,.
(参考公式)相关系数,在回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
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【题目】已知点为双曲线: 的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线C于点,且
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线与双曲线C恒有两个不同交点P和Q且 (其中O为原点),求k的取值范围;
(3)过双曲线C上任意一点R作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为M,N,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系中有如下正确结论:为曲线(、为非零实数,且不同时为负)上一点,则过点的切线方程为.
(1)已知为椭圆上一点,为过点的椭圆的切线,若直线与直线的斜率分别为与,求证:为定值;
(2)过椭圆上一点引椭圆的切线,与轴交于点.若为正三角形,求椭圆的方程;
(3)求与圆及(2)中的椭圆均相切的直线与坐标轴围成的三角形的面积的取值范围.
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【题目】命题:方程表示焦点在轴上的双曲线:命题:若存在,使得成立.
(1)如果命题是真命题,求实数的取值范围;
(2)如果“”为假命题,“”为真命题,求实数的取值范围.
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【题目】已知过点的动直线与圆:相交于、两点,是中点,与直线:(为常数)相交于点.
(1)求证:当与垂直时,必过圆心;
(2)当时,求直线的方程;
(3)当直线的倾斜角变化时,探索的值是否为常数?若是,求出该常数;若不是,请说明理由.
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【题目】已知椭圆,四点中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程
(2)椭圆C上是否存在不同的两点M,N关于直线对称?若存在,请求出直线MN的方程,若不存在,请说明理由.
(3)设直线l不经过点且与C相交于A,B两点,若直线与直线的斜率之和为1,求证直线l必过定点,并求出这个定点坐标.
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