分析 (1)求出定义域,求出f(-x),判断f(-x)与f(x)的关系得出结论.
(2)设0<x1<x2,对f(x1)-f(x2)化简,根据0<x1<x2判断f(x1)-f(x2)的符号.
解答 解:(1)由函数有意义得x≠0,∴f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
∵f(-x)=-2x+$\frac{a}{x}$=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(2)设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个数,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=2x1-2x2+$\frac{a}{{x}_{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}}$=2(x1-x2)+$\frac{a({x}_{1}-{x}_{2})}{{x}_{1}{x}_{2}}$=(x1-x2)(2+$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$).
∵x1<x2,a>0∴x1-x2<0,$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
点评 本题考查了函数奇偶性,单调性的判断与证明,属于基础题.
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A. | $\frac{5}{6}$ | B. | $\frac{11}{12}$ | C. | $\frac{10}{11}$ | D. | $\frac{5}{12}$ |
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