Question

10．已知函数f（x）=2x-$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）求出定义域，求出f（-x），判断f（-x）与f（x）的关系得出结论．
（2）设0＜x₁＜x₂，对f（x₁）-f（x₂）化简，根据0＜x₁＜x₂判断f（x₁）-f（x₂）的符号．

解答 解：（1）由函数有意义得x≠0，∴f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
∵f（-x）=-2x+$\frac{a}{x}$=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2x₁-2x₂+$\frac{a}{{x}_{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}}$=2（x₁-x₂）+$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（2+$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$）．
∵x₁＜x₂，a＞0∴x₁-x₂＜0，$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了函数奇偶性，单调性的判断与证明，属于基础题．