Question

已知f（x，y）=（ax+by+1）ⁿ（常数a，b∈Z，n∈N^*且n≥2）
（1）若a=-2，b=0，n=2010，记f(x，y)=a0+

2010

i=1

aixi求：①

2010

i=1

ai；②

2010

i=1

iai
（2）若f（x，y）展开式中不含x的项的系数的绝对值之和为729，不含y项的系数的绝对值之和为64，求n的所有可能值．

Answer 1

（1）由已知，令x=0，得a₀=1，l令x=1，得a₀+

2010

i=1

ai=（-2+1）²⁰¹⁰=1，①

2010

i=1

ai=0
②f（x，y）=（-2x+1）²⁰¹⁰=(2x-1)2010=a0+

2010

i=1

aixi两边同时对x求导，得2010（2x-1）²⁰⁰⁹×2=

2010

i=1

iaixi-1，再令x=1得

2010

i=1

iai=4020
（2）令a=0得（by+1）ⁿ，则（|b|+1）ⁿ=729
令b=0，（ax+1）ⁿ，则（|a|+1）ⁿ=64
因为64所有的底数与指数均为正整数的指数式拆分为：8²，4³，2⁶
所以当n=2时，|a|=7，|b|=26；当n=3时，|a|=3，|b|=8；当n=6时，|a|=1，|b|=2
故n的所有的可能值为2，3，6