Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2

2

，一个边长为2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移动到位置Ⅱ停止，若移动的距离为x，正方形和△ABC的公共部分的面积为f（x），试求出f（x）的解析式，并求出最大值．

Answer 1

分析：将一个边长为2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移动到位置Ⅱ停止，若移动的距离为x，此时正方形和△ABC的公共部分分为三种情况，然后分别求出公共部分的面积为f（x），最后根据分段函数求最值的方法求出最值即可．

解答：解：当x∈[0，2]时，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
∴f（x）=

1

2

x2
当x∈（2，4]时，正方形和△ABC的公共部分是两个直角梯形
f（x）=4-

1

2

(x-2)2-

1

2

(4-x)2
当x∈（4，6]时，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
f（x）=

1

2

[2-(x-4)]  2
综上所述：f(x)=

1 2 x2 4- 1 2 (x-2)2- 1 2 (4-x)2 1 2 [2-(x-4)]2

x∈[0，2] x∈(2，4] x∈(4，6]

分析可得当x=3时，f（x）的最大值为3．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数的最值及其几何意义，属于中档题．