Question

4．解关于x的不等式：ax²-x+1＜0．

Answer 1

分析 利用一元二次不等式的性质根据a的取值进行分类讨论，由此能求出原不等式的解集．

解答 解：∵ax²-x+1＜0，
∴当a=0时，-x+1＜0，解得x＞1，原不等式解集为{x|x＞1}．
当a＜0时，-ax²+x-1＞0，
当△=1-4a=0，即a=$\frac{1}{4}$时，不满足a＜0，故无解；
当△=1-4a＞0时，a＜$\frac{1}{4}$，解方程-ax²+x-1=0，得x=$\frac{-1±\sqrt{1-4a}}{-2a}$，
∴原不等式的解集为：{x|x＜$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2a}$}；
当△=1-4a＜0，即a＞$\frac{1}{4}$，不满足a＜0，故无解；
当a＞0时，ax²-x+1＜0
当△=1-4a=0，即a=$\frac{1}{4}$时，原不等式的解集为{x|x≠$\frac{1}{2a}$}；
当△=1-4a＞0时，0＜a＜$\frac{1}{4}$，解方程ax²-x+1=0，得x=$\frac{1±\sqrt{1-4a}}{2a}$，
∴原不等式的解集为：{x|$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2a}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2a}$}；
当△=1-4a＜0，即a＞$\frac{1}{4}$，原不等式的解集为R．

点评 本题考查一元二次不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．