Question

20．（1）已知f（x）=x²-2ax（0≤x≤1），求f（x）的最小值；
（2）已知函数f（x）=x²+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的表达式．

Answer 1

分析 （1）求出对称轴x=a，讨论当a＜0时，当0≤a≤1时，当a＞1时，运用单调性，即可得到最小值；
（2）求出对称轴为x=-$\frac{3}{2}$，讨论当t+1≤-$\frac{3}{2}$，即t≤$-\frac{5}{2}$时，当t＞$-\frac{3}{2}$时，当t≤-$\frac{3}{2}$＜t+1，即-$\frac{5}{2}$＜t≤-$\frac{3}{2}$时，运用单调性即可得到最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，对称轴为x=a，
①当a＜0时，f（x）在[0，1]上是增函数，
∴f（x）_min=f（0）=0．
②当0≤a≤1时，f（x）_min=f（a）=-a²
③当a＞1时，f（x）在[0，1]上是减函数，
∴f（x）_min=f（1）=1-2a，
综上所述，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{0，a＜0}\\{-{a}^{2}，0≤a≤1}\\{1-2a，a＞1}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=${（x+\frac{3}{2}）^2}-\frac{29}{4}$，
所以对称轴为直线x=-$\frac{3}{2}$固定，而区间[t，t+1]是变动的，
因此有①当t+1≤-$\frac{3}{2}$，即t≤$-\frac{5}{2}$时，区间[t，t+1]递减，
h（t）=f（t+1）=（ t+1）²+3（t+1）-5=t²+5t-1；
②当t＞$-\frac{3}{2}$时，区间[t，t+1]递增，h（t）=f（t）=t²+3t-5；
③当t≤-$\frac{3}{2}$＜t+1，即-$\frac{5}{2}$＜t≤-$\frac{3}{2}$时，h（t）=f（-$\frac{3}{2}$）=$-\frac{29}{4}$．
综上可知，h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+5t-1，t≤-\frac{5}{2}}\\{-\frac{29}{4}，-\frac{5}{2}＜t≤-\frac{3}{2}}\\{{t}^{2}+3t-5，t＞-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，考查函数的对称轴和区间的关系，注意运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题和易错题．