Question

14．比较log₂（3x+1）与${log}_{\sqrt{2}}$（x一3）的大小．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，利用作差发比较大小即可．

解答 解：要使log₂（3x+1）与${log}_{\sqrt{2}}$（x一3）有意义，
则$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{x-3＞0}\end{array}\right.$，
解得x＞3，
∴log₂（3x+1）-${log}_{\sqrt{2}}$（x一3）=log₂（3x+1）-$\frac{lo{g}_{2}（x-3）}{lo{g}_{2}\sqrt{2}}$=log₂（3x+1）-2log₂（x-3）=log₂$\frac{3x+1}{（x-3）^{2}}$，
当$\frac{3x+1}{（x-3）^{2}}$＞1时，即3x+1＞（x-3）²时，即x²-9x+8＜0，解得1＜x＜8，
∴3＜x＜8时，log₂（3x+1）-${log}_{\sqrt{2}}$（x一3）＞0，
∴log₂（3x+1）＜${log}_{\sqrt{2}}$（x一3）．
当$\frac{3x+1}{（x-3）^{2}}$＜1时，即3x+1＜（x-3）²时，即x²-9x+8＞0，解得x＜1，或x＞8，
∴当x＞8时，log₂（3x+1）-${log}_{\sqrt{2}}$（x一3）＜0，
∴log₂（3x+1）＜${log}_{\sqrt{2}}$（x一3）．

点评 本题主要考查了对数函数的图象及性质，以及分类讨论的思想，属于基础题