精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设有两个命题:
命题p:不等式|x-1|+|x-3|>a对一切实数x都成立;
命题q:已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线2x+y=1平行,且f(x)在[a,a+1]上单调递减.
若命题“p或q“为真,求实数a的取值范围.
分析:利用绝对值不等式的几何意义可求得命题p真时a的取值范围,由导数的几何意义可求得f(x)的解析式,f(x)在[a,a+1]上单调递减可求得实数a的取值范围,再由“p或q“为真即可求得答案.
解答:解:令f(x)=|x-1|+|x-3|,
则f(x)=|x-1|+|x-3|≥|1-x+x-3|=2,
即f(x)min=2,
∵命题p:不等式|x-1|+|x-3|>a对一切实数x都成立,
∴a<f(x)min=2.
又命题q:已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线2x+y=1平行,
∴f(-1)=-m+n=2①
f′(-1)=3m(-1)2+2n(-1)=-2,即3m-2n=-2②
由①②得:m=2,n=4.
∴f(x)=2x3+4x2
∴f′(x)=6x2+8x=2x(3x+4),
∴当-
4
3
≤x≤0时,f′(x)≤0,
∴f(x)在[-
4
3
,0]上单调递减.
∵f(x)=2x3+4x2在[a,a+1]上单调递减,
a≥-
4
3
a+1≤0
,解得-
4
3
≤a≤-1.
∵“p或q“为真,[-
4
3
,0]?(-∞,2).
∴a<2.
点评:本题考查绝对值不等式的解法,考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查命题的真假判断与应用,求得命题p真与命题q真时实数a的取值范围是关键,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设有两个命题.命题p:不等式x2-(a+1)x+1≤0的解集是∅;命题q:函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数.如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设有两个命题.命题p:不等式x2-(a-1)x+1≤0的解集是∅;命题q:函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数.如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设有两个命题,命题p:对
a
b
均为单位向量,其夹角为θ,|
a
+
b
|>
1是θ∈[0,
3
)
的充要条件,命题q:若函数y=kx2-kx-8的值恒小于0,则-32<k<0,那么(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(08年唐山一中二模) 设有两个命题,命题p:关于x的不等式的解集,命题q:若函数的值恒小于0,则,那么      (    )

A.“q”为假命题             B.“p”为真命题

C.“p或q”为真命题            D.“p且q”为真命题

查看答案和解析>>

同步练习册答案