练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数f(x)=
    4x
    4x+2

    （1）试求f(
    1
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )(n∈N*)    的值；
    （2）若数列{an}满足an=f（0）+f(
    1
    n
    )    +f(
    2
    n
    )    +…+f(
    n-1
    n
    )    +f（1）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
    （3）若数列{bn}满足bn=2n+1•an，Sn是数列{bn}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由．
    （本小题满分16分）
    （1）∵f（x）+f（1-x）=
    4x
    4x+2
    +
    41-x
    41-x+2
    =
    4x
    4x+2
    +
    4
    4+2•4x
    =1
    ∴f（
    1
    n
    ）+f（
    n-1
    n
    ）=1．（5分）
    （2）∵an=f（0）+f(
    1
    n
    )    +f(
    2
    n
    )    +…+f(
    n-1
    n
    )    +f（1）（n∈N*），①
    ∴an=f(1)+f(
    n-1
    n
    )+f(
    n-2
    n
    )    +…+f（
    1
    n
    ）+f（0）（n∈N*），②
    由（1），知 f（
    1
    n
    ）+f（
    n-1
    n
    ）=1，
    ∴①+②，得2an=n+1，
    ∴an=
    n+1
    2
    ．（10分）
    （3）∵bn=2n+1•an，∴bn=(n+1)•2n，
    ∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
    ∴2Sn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1，②
    ①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1，
    即Sn=n•2n+1，（12分）
    要使得不等式knSn＞4bn恒成立，即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立，
    n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4．
    设g（n）=kn2-2n-2，
    当k＞4时，由于对称轴直线n=
    1
    k
    ＜1    ，且 g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞） 是增函数，
    ∴不等式knSn＞bn恒成立，
    即当k＞4时，不等式knSn＞bn对于一切的n∈N*恒成立 …（16分）
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    4(a-3)x+a+
    1
    2
    (x＜0)
    ax，(x≥0)
    ，若函数f（x）的图象经过点（3，
    1
    8
    ），则a=
     
    ；若函数f（x）满足对任意x1≠x2，
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    ＜0    都有成立，那么实数a的取值范围是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    		4-x2
    |x-3|-3
    ，则它是（　　）
    A、奇函数B、偶函数
    C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    4-x2(x＞0)
    2(x=0)
    1-2x(x＜0)
    ，
    （1）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
    （2）当-4≤x＜3时，求f（x）取值的集合．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    4•2x+2
    2x+1
    +x•cosx (-1≤x≤1)    ，且f（x）存在最大值M和最小值N，则M、N一定满足（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    4-x2(x＞0)
    2(x=0)
    1-2x(x＜0)
    ，
    （1）画出函数f（x）图象；
    （2）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
    （3）当-4≤x＜3时，求f（x）取值的集合．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案