精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
4.已知函数f(x)=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωx•sin(ωx+$\frac{π}{2}$)(其中ω>0)的最小正周期为$\frac{π}{2}$,
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[$\frac{π}{8}$,$\frac{π}{4}$]上的最大值与最小值.

分析 (Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2ωx$-\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,根据三角函数的周期性及其求法即可得解.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=sin(4x-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,由x∈[$\frac{π}{8}$,$\frac{π}{4}$],可得4x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{6}$],从而可求f(x)=sin(4x-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$∈[1,$\frac{3}{2}$],即可得解.

解答 解:(Ⅰ)∵f(x)=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωx•sin(ωx+$\frac{π}{2}$)
=$\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx•cosωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$
=sin(2ωx$-\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$,
∴ω=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ),可得f(x)=sin(4x-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,
∵x∈[$\frac{π}{8}$,$\frac{π}{4}$],∴4x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{6}$],
∴sin(4x-$\frac{π}{6}$)∈[$\frac{1}{2}$,1],
∴f(x)=sin(4x-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$∈[1,$\frac{3}{2}$],
当4x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$,即x=$\frac{π}{4}$时,f(x)取得最小值为1;
当4x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$,即x=$\frac{π}{6}$时,f(x)取得最大值为$\frac{3}{2}$;
∴函数f(x)在区间[$\frac{π}{8}$,$\frac{π}{4}$]上的最大值为$\frac{3}{2}$,最小值为1.

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

14.已知$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=0$,且|$\overrightarrow{a}$|=3,|$\overrightarrow{b}$|=5,|$\overrightarrow{c}$|=7,则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是60°.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.在等比数列{an}中,a1=1,记Sn为{an}的前n项和,Tn为数列{an3}的前n项和,若S3n=7Tn,则公比q的值为-3或2.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

12.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},C⊆A∩B,则集合C可能是(  )
A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{2,4}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.已知f(x)=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$,g(x)=sinx,则下列函数中奇函数是①②④⑤(填写所有正确结论对应的序号)
①f(x)+g(x);
②f(x)-g(x);
③f(x)•g(x);
④f(g(x));
⑤g(f(x)).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.如图,在△ABC中,D为边BC的中点,则下列结论正确的是(  )
A.$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$B.$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BC}$C.$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$D.$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{BC}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

16.曲线y=x3在点x=2处的切线方程是(  )
A.12x-y-16=0B.12x+y-32=0C.4x-y=0D.4x+y-16=0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

13.从1,2,…,10中选3数使之不构成等差数列,问这样的选法共有100种(用数字作答).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

10.类比实数的运算性质猜想复数的运算性质:
①“mn=nm”类比得到“z1z2=z2z1”;
②“|x|=1⇒x=±1”类比得到“|z|=1⇒z=±1”;
③“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|z1z2|=|z1||z2|”;
④“|x|2=x2”类比得到“|z|2=z2”;
以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是(  )
A.4B.3C.2D.1

查看答案和解析>>

同步练习册答案