【题目】梯形中,
,
,
,
,过点
作
,交
于
(如图1).现沿
将
折起,使得
,得四棱锥
(如图2).
(1)求证:平面平面
;
(2)若为
的中点,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)在中,求解三角形可得
,又
,得到四边形
为平行四边形,进一步得到平行四边形
为菱形,则
,再由
,得
平面
,从而得到平面
平面
;
(2)由平面
,得到
,再由
,得
平面
,设
,可得
,
分别为
,
的中点,则
,得到
平面
,以
为原点建立空间直角坐标系,分别求出平面
与平面
的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角
的余弦值.
解:(1)在中,∵
,
,∴
,又
,∴
,
又,∴四边形
为平行四边形.
∵,∴平行四边形
为菱形,∴
,
又,
平面
,
,
∴平面
.
又∵平面
,∴.平面
平面
.
(2)∵平面
,
平面
,∴
,
又,
平面
,
,∴
平面
,
设,∵
,
分别为
,
的中点,∴
,∴
平面
,
由(Ⅰ)得,以为原点,建立如图空间直角坐标系
.
不妨设,可知
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,则
,∴
,
令,则
,
,∴
,
易得平面的一个法向量为
,
设二面角的平面角为
,则
,
即二面角的余弦值为
.
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【题目】边长为2正方体中,点E在棱CD上.
(1)求证:;
(2)若E是CD中点,求与平面
所成的角的正弦值;
(3)设M在棱上,且
,是否存在点E,使平面
⊥平面
,若存在,指出点E的位置,若不存在,请说明理由.
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【题目】一批产品共10件,其中3件是不合格品,用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验:
方法一:一次性随机抽取2件;
方法二:先随机抽取1件,放回后再随机抽取1件.
记方法一抽取的不合格产品数为.记方法二抽取的不合格产品数为
.
(1)求两种抽取方式下,
的概率分布列;
(2)比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小?并说明理由.
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【题目】下列四个结论中正确的个数是
(1)对于命题使得
,则
都有
;
(2)已知,则
(3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为;
(4)“”是“
”的充分不必要条件.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】2019年春节期间,某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动,超市设计了两种抽奖方案.
方案一:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得60元的返金券,若抽到白球则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.
方案二:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得80元的返金券,若抽到白球则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.
(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得180元返金券的概率;
(2)若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望;
②为了吸引顾客消费,让顾客获得更多金额的返金券,该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动?
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