Question

已知二次不等式的ax²+2x+b＞0解集为{x|x≠-

1

a

}且a＞b，则

a2+b2

a-b

的最小值为（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

分析：由二次不等式的ax²+2x+b＞0解集为{x|x≠-

1

a

}可得△=4-4ab=0?ab=1且a-b＞0
而

a2+b2

a-b

=

(a-b)2+2ab

a-b

=

2

a-b

+a-b利用基本不等式可求最小值．

解答：解：∵二次不等式的ax²+2x+b＞0解集为{x|x≠-

1

a

}且a＞b
∴△=4-4ab=0?ab=1  且a-b＞0
∴

a2+b2

a-b

=

(a-b)2+2ab

a-b

=

2

a-b

+a-b≥2

2 a-b •(a-b)

=2

2

当且仅当a-b=

2

a-b

，ab=1时取等号
故选D

点评：本题主要由一元二次不等式的解集的存在情况为切入点，考查了利用基本不等式求解最值的问题，解决问题的关键是要注意ab=1的灵活运用，使得所要求的式子配凑成基本不等式所要求的“一正”“二定”“三相等”的形式．