Question

【题目】已知函数f(x)＝ln x＋ax－＋b.

(1)若函数g(x)＝f(x)＋为减函数，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)≤0恒成立，证明：a≤1－b.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）求出函数的导数，根据，分参数，求解的范围即可；

（2）求出函数的导数，令，通过讨论的范围，令，根据函数的单调性得到，从而证出结论即可.

试题解析：

(1)解　g(x)＝f(x)＋＝ln x＋ax＋＋b，x>0.

对g(x)求导可得g′(x)＝＋a－，x>0.

要使g(x)在(0，＋∞)为减函数，则有g′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤－＝－，

所以a≤－，故实数a的取值范围是.

(2)证明　f′(x)＝＋＋a＝(x>0)，

令y＝ax2＋x＋1，

当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不满足f(x)≤0恒成立；

当a<0时，Δ＝1－4a>0，当ax2＋x＋1＝0，得x＝>0或x＝<0，

设x0＝，函数f(x)在(0，x0)上单调递增；在(x0，＋∞)上单调递减.

又f(x)≤0恒成立，所以f(x0)≤0，即ln x0＋ax0－＋b≤0.

由上式可得b≤－ax0－ln x0，由ax＋x0＋1＝0，得a＝－，

所以a＋b≤－ax0－ln x0－＝－ln x0＋－＋1.

令t＝，t>0，h(t)＝ln t＋t－t2＋1，

h′(t)＝＝，

当0<t<1时，h′(t)>0，函数h(t)在(0，1)上单调递增，

当t≥1时，h′(t)≤0，函数h(t)在(1，＋∞)上单调递减，h(t)≤h(1)＝1.

故a＋b≤1，即a≤1－b.