Question

在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：8x+6y+1=0，圆C₁：x²+y²+8x-2y+13=0，圆C₂：x²+y²+8tx-8y+16t+12=0．
（1）当t=-1时，试判断圆C₁与圆C₂的位置关系，并说明理由；
（2）若圆C₁与圆C₂关于直线l对称，求t的值；
（3）在（2）的条件下，若P（a，b）为平面上的点，是否存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁与圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）t=-1时，圆C₁的圆心C₁（-4，1），半径r₁=2；圆C₂的圆心C₂（4，4），半径r₂=2
∴圆心距|C₁C₂|=＞r₁+r₂=8
∴两圆相离
（2）圆C₂的圆心C₂（-4t，4），半径r₂=
∵圆C₁与圆C₂关于直线l对称，又直线l的斜率
由得t=0；，
（3）假设存在P（a，b）满足条件：不妨设l₁的方程为y-b=k（x-a）（k≠0）
则l₂的方程为y-b=-
因为圆C₁与圆C₂的半径相等，又直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，
所以圆C₁的圆心到直线l₁距离，和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，
即=
整理得|（a+4）k-b+1|=|（b-4）k+a|
即（a+4）k-b+1=（b-4）k+a或（a+4）k-b+1=（4-b）k-a
即（a-b+8）k-a-b+1=0或（a+b）k+a-b+1=0
因为k取值无穷多个
所以或
解得或
∴这样的点P可能是P₁（-），P₂（-）
∴所求点P的坐标为（-）和（-）．
分析：（1）求得两圆的圆心距，与半径半径，即可求得结论；
（2）确定圆C₂的圆心与半径，两圆圆C₁与圆C₂关于直线l对称，直线l的斜率，可求t的值；
（3）利用圆C₁与圆C₂的半径相等，又直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，可得圆C₁的圆心到直线l₁距离，和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，由此可得结论．
点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的对称性，考查存在性问题的探求，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．