Question

已知函数f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R”
（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真，求实数a的取值范围；
（3）?p是q的什么条件？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）命题p可转化为恒成立问题，根据类二次函数的性质，可得到a的取值范围；
（2）命题q可转化为真数部分的值域包含（0，+∞），据些构造关于a的不等式组，解可得a的取值范围；
（3）由（1）求出?p，并比较两个命题对应的参数a的范围之间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”可得答案．

解答：解：（1）若命题p为真，即f（x）的定义域是R，
则（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立，…（2分）
则a=-1或

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)＜0.

…（3分）
解得a≤-1或a＞

5

3

．
∴实数a的取值范围为（-∞，-1]∪(

5

3

，+∞）．…（5分）
（2）若命题q为真，即f（x）的值域是R，
设u=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域为A
则A?（0，+∞），…（6分）
等价于a=1或

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)≥0.

…（8分）
解得1≤a≤

5

3

．
∴实数a的取值范围为[1，

5

3

]．…（10分）
（3）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，
?p：a∈(-1 ， 

5

3

]；q：a∈[1 ， 

5

3

]．
而(-1，

5

3

]?[1，

5

3

]，
∴?p是q的必要而不充分的条件．…（13分）

点评：本题是对数函数性质，恒成立问题，充要条件的综合应用，（1）中的转化思想，以及类二次函数的图象及性质中的分类讨论思想，都是高中重点培养的数学思想，（2）的转化比较难理解，可借助二次函数的图象和性质进行分析．