Question

某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i（i=1，2，3）次射击时击中目标得4-i分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）设选手甲第i次击中目标的事件为A_i（i=1，2，3），
则
依题可知：A_i与A_j（i，j=1，2，3，i≠j）相互独立
所求为：…（5分）
（Ⅱ）ξ可能取的值为0，3，5，6． 　　　　　　　　　…（6分）
ξ的分布列为：

ξ	0	3	5	6
P	0.2	0.16	0.128	0.512

…（10分）（表中的每一个概率值各占1分）
∴E_ξ=0×0.2+3×0.16+5×0.128+6×0.512=4.192．…（12分）
分析：（Ⅰ）甲恰好射击两次说明第一次射中，第二次未射中，设选手甲第i次击中目标的事件为A_i（i=1，2，3），则，而A_i与A_j（i，j=1，2，3，i≠j）相互独立，从而求出所求；
（II）ξ可能取的值为0，3，5，6，然后求出相应的概率，得到ξ的分布列，最后根据离散型随机变量的期望公式解之即可．
点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望和分布列，属于中档题．