Question

20．已知函数f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（$\frac{θ}{2}$+$\frac{5π}{12}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，0＜θ＜$\frac{π}{2}$，求tanθ的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的恒等变换应用化简可求f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）根据三角函数恒等变换的应用，由已知可得cosθ，结合θ范围利用同角三角函数关系式即可求得sinθ，tanθ．

解答 解：（1）∵f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x
=cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\sqrt{3}$cos²x
=$\frac{1}{2}$sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x-$\sqrt{3}$cos²x
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵f（$\frac{θ}{2}$+$\frac{5π}{12}$）=$\frac{1}{2}$sin[2（$\frac{θ}{2}$+$\frac{5π}{12}$）-$\frac{π}{3}$]-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∴解得：cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，tan$θ=\frac{sinθ}{cosθ}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．