【题目】已知函数.
(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;
(2)若f(x)有两个极值点,,证明:.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)求得函数的导数,,按、、三种情况分类讨论,得出函数的单调性,进而得出函数的极值;
(2)由(1)知,当时,极值点,是方程的两根,化简得,设,,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.
(1)由题意,函数,
得,,
(i)若时;,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增,
所以当,函数取得极小值,是的一个极小值点;
(ii)若时,则,即时,此时,在是减函数,无极值点,
当时,则,令,解得,,
当和时,,当时,,
∴在取得极小值,在取得极大值,所以有两个极值点,
综上可知:(i)时,仅有一个极值点;(ii).当时,无极值点;
(iii)当,有两个极值点.
(2)由(1)知,当且仅当时,有极小值点和极大值点,
且,是方程的两根,∴,,
则
,
设,,则,
∴时,是减函数,,
∴,
∴.
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【题目】(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字,,,这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次,每次抽取张,将抽取的卡片上的数字依次记为,,.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字,,不完全相同”的概率.
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【题目】一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( )
A. 50 mB. 100 m
C. 120 mD. 150 m
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求证:M为PB的中点;
(II)求二面角B-PD-A的大小;
(III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
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【题目】如图,在正方形中,点E,F分别为边,的中点,将、分别沿、所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,下列说法错误是( )
A.存在某个位置,使得直线与直线所成的角为
B.存在某个位置,使得直线与直线所成的角为
C.A、C两点都不可能重合
D.存在某个位置,使得直线垂直于直线
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【题目】为了了解我市特色学校的发展状况,某调查机构得到如下统计数据:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
特色学校(百个) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(Ⅰ)根据上表数据,计算与的相关系数,并说明与的线性相关性强弱(已知:,则认为与线性相关性很强;,则认为与线性相关性一般;,则认为与线性相关性较弱);
(Ⅱ)求关于的线性回归方程,并预测我市2019年特色学校的个数(精确到个).
参考公式: ,,,,,.
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【题目】已知抛物线与斜率为且过抛物线焦点的直线交于、两点,满足弦长.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)已知为抛物线上任意一点,为抛物线内一点,求的最小值,以及此时点的坐标.
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