已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,0≤f(x)<1.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)若a≥0,且f(a+1)≤,求实数a的取值范围.
分析:因为xn·yn=(x·y)n,又f(27)=9,可以猜想f(x)的原型是幂函数y=x,进而可猜想f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数. 解:(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)·f(-1). 因为f(-1)=1,所以f(-x)=f(x), 所以f(x)为偶函数. (2)函数f(x)在[0,+∞)上是增函数. 证明如下: 若x≥0,则f(x)=f(·)=f()·f()=[f()]2≥0. 设0≤x1<x2,则0≤<1, 且f(x1)=f=f·f(x2). 因为当0≤x<1时,0≤f(x)<1, 所以0≤f<1, 所以f(x1)<f(x2). 故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数. (3)因为f(27)=9, 又f(3×9)=f(3)·f(9)=f(3)·f(3)·f(3)=[f(3)]3, 所以9=[f(3)]3, 所以f(3)=. 因为f(a+1)≤, 所以f(a+1)≤f(3). 又因为3≥0,a+1≥0,且函数f(x)在[0,+∞)上是增函数, 所以a+1≤3,即a≤2, 又a≥0,故0≤a≤2. 点评:合理地运用条件赋予抽象函数的性质,借助于函数的单调性,巧妙地去掉函数符号,从而将抽象函数问题转化为具体函数问题,在这个过程中要注意问题的等价转化.同时,适当地赋值也是研究抽象函数的常用方法,在解题中必须予以重视. 总之,解决抽象函数问题,可以将它与学过的具体函数联系起来,寻求函数的原型.适当地赋值也是得到一些基础结论的好方法.只要我们在学习中不断总结,富于联想,抽象函数问题就不那么抽象了. |
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ab |
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科目:高中数学 来源:北京市海淀区2012届高三下学期期中练习数学文科试题 题型:022
已知函数f(x)=则f(f(x))=________;
下面三个命题中,所有真命题的序号是________.
①函数f(x)是偶函数;
②任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立;
③存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))使得△ABC为等边三角形.
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科目:高中数学 来源:2010年普通高等学校招生全国统一考试、理科数学(上海卷) 题型:044
若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.
(1)若x2-1比1远离0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab;
(3)已知函数f(x)的定义域.任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).
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科目:高中数学 来源:2010年全国普通高等学校招生统一考试、文科数学(上海卷) 题型:044
若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab;
(3)已知函数f(x)的定义域D={x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).
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科目:高中数学 来源:上海高考真题 题型:解答题
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