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已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,0≤f(x)<1.

(1)判断f(x)的奇偶性;

(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;

(3)若a≥0,且f(a+1)≤,求实数a的取值范围.

答案:
解析:

  分析:因为xn·yn=(x·y)n,又f(27)=9,可以猜想f(x)的原型是幂函数y=x,进而可猜想f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数.

  解:(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)·f(-1).

  因为f(-1)=1,所以f(-x)=f(x),

  所以f(x)为偶函数.

  (2)函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.

  证明如下:

  若x≥0,则f(x)=f(·)=f()·f()=[f()]2≥0.

  设0≤x1<x2,则0≤<1,

  且f(x1)=f=f·f(x2).

  因为当0≤x<1时,0≤f(x)<1,

  所以0≤f<1,

  所以f(x1)<f(x2).

  故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.

  (3)因为f(27)=9,

  又f(3×9)=f(3)·f(9)=f(3)·f(3)·f(3)=[f(3)]3

  所以9=[f(3)]3

  所以f(3)=

  因为f(a+1)≤

  所以f(a+1)≤f(3).

  又因为3≥0,a+1≥0,且函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,

  所以a+1≤3,即a≤2,

  又a≥0,故0≤a≤2.

  点评:合理地运用条件赋予抽象函数的性质,借助于函数的单调性,巧妙地去掉函数符号,从而将抽象函数问题转化为具体函数问题,在这个过程中要注意问题的等价转化.同时,适当地赋值也是研究抽象函数的常用方法,在解题中必须予以重视.

  总之,解决抽象函数问题,可以将它与学过的具体函数联系起来,寻求函数的原型.适当地赋值也是得到一些基础结论的好方法.只要我们在学习中不断总结,富于联想,抽象函数问题就不那么抽象了.


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(Ⅰ)若x2-1比1远离0,求x的取值范围;
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