Question

13．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x+y-6≥0\\ x+2y-6≤0\\ y≥0\end{array}\right.$，则$\frac{{2{y^2}-xy}}{x^2}$的最小值是（　　）

• A． $-\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，$\frac{{2{y^2}-xy}}{x^2}$=2$（\frac{y}{x}）^{2}-\frac{y}{x}$，最利用k=$\frac{y}{x}$的几何意义，结合直线斜率公式进行求解即可

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，k=$\frac{y}{x}$的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象可知，OA的斜率最大，由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-6=0}\\{x+2y-6=0}\end{array}\right.$得A（2，2），
∴0≤k≤1，∴$\frac{{2{y^2}-xy}}{x^2}$=2$（\frac{y}{x}）^{2}-\frac{y}{x}$=2k²-k=2（k-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$$≥-\frac{1}{8}$，
故选：A．

点评 本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题