Question

某企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的月利润y=f（x）与投资额x成正比，且投资4万元时，月利润为2万元；B产品的月利润y=g（x）与投资额x的算术平方根成正比，且投资4万元时，月利润为1万元．（允许仅投资1种产品）
（1）分别求出A、B两种产品的月利润表示为投资额x的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大的月利润，最大月利润是多少？（结果用分数表示）

Answer 1

分析：（1）设出函数解析式，利用投资4万元时，A产品的月利润为2万元；投资4万元时，B产品的月利润为1万元，可求函数解析式；
（2）将企业获利表示成对产品B投资x的函数，再用换元法，将函数转化为二次函数，即可求出函数的最值．

解答：解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，
由题设f（x）=k₁x，g（x）=k₂

x

，（k₁，k₂≠0；x≥0）
∵投资4万元时，A产品的月利润为2万元，∴f（4）=2，∴k₁=

1

2

∵投资4万元时，B产品的月利润为1万元，∴g（4）=1，∴k₂=

1

2

         
从而f（x）=

1

2

x，g（x）=

1

2

x

（x≥0）；
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业的利润为y万元
y=f（x）+g（10-x）=

1

2

x+

1

2

10-x

，（0≤x≤10），
令

10-x

=t，（0≤t≤

10

），则y=-

1

2

(t-

1

2

)2+

41

8

，
∴t=

1

2

时，y_max=

41

8

，此时x=9.75
∴当A产品投入9.75万元，B产品投入0.25万元时，企业获得最大利润约为

41

8

万元．

点评：本题考查利用待定系数法求函数的解析式，考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．注意应用题的解题规范．属于中档题．