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A是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数Φ(x)组成的集合:
①对任意的x∈[1,2],都有Φ(2x)∈(1,2);
②存在常数L(0<L<1),使得对任意的x1,x2∈[1,2],都有|Φ(2x1)-Φ(2x2)|≤L|x1-x2|;
(1)设Φ(x)=
[
3]1+x,x∈[2,4]
,证明:Φ(x)∈A;
(2)设Φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=Φ(2x0),那么,这样的x0是唯一的;
(3)设Φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=Φ(2xn),n=1,2,…,
证明:给定正整数k,对任意的正整数p,不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|
成立.
分析:(1)欲证Φ(x)∈A,即证Φ(x)满足条件的两条:①②.
①对任意x∈[1,2],φ(2x)=
[
3]1+2x,x∈[1,2]
,所以φ(2x)∈(1,2).
②对任意x1,x2∈(1,2),|φ(2x1)-φ(2x2)|利用绝对值不等式的性质得到:0<L<1,|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|,所以φ(x)∈A;
(2)利用反证法证明:先假设存在x0,x0′∈(1,2),x0≠x0′,使得x0=φ(2x0),x0′=φ(2x0′),
则由条件得出与题设矛盾,故结论成立;
(3)先由|x3-x2|=|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|,所以进一步可得|xn+1-xn|≤Ln-1|x2-x1|,n∈N*,最后利用放缩法得到证明.
解答:证明:(1)对任意x∈[1,2],φ(2x)=
[
3]1+2x,x∈[1,2]

于是
[
3]3≤φ(2x)≤
[
3]5
,(2分)
1<
[
3]3<
[
3]5<2

所以φ(2x)∈(1,2).
对任意x1,x2∈(1,2),|φ(2x1)-φ(2x2)|
=|
[
3]1+2x1-
[
3]1+2x2|
=
2|x1-x2|
[
3](1+2x1)2+
[
3](1+2x1)(1+2x2)+
[
3](1+2xx)2

由于
[
3](1+2x1)2+
[
3](1+2x1)(1+2x2+
[
3](1+2x2)2>3

所以0<
2
[
3](1+2x1)2+
[
3](1+2x1)(1+2x2)+
[
3](1+2x2)2
2
3
,(4分)
2
[
3](1+2x1)2+
[
3](1+2x1)(1+2x2)+
[
3](1+2x2)2
=L

则0<L<1,|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|,所以φ(x)∈A.(7分)
(2)反证法:设存在x0,x0′∈(1,2),x0≠x0′,使得x0=φ(2x0),x0′=φ(2x0′),
则由|φ(2x0)-φ(2x0′)|≤L|x0-x0′|,
得|x0-x0'|≤L|x0-x0'|,所以L≥1,与题设矛盾,故结论成立.(10分)
(3)|x3-x2|=|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|,所以进一步可得|xn+1-xn|≤Ln-1|x2-x1|,n∈N*,(12分)
于是|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+…+(xk+1-xk)|
≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|≤Lk+p-2|x2-x1|+LK+P-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|=
LK-1(1-Lp)
1-L
|x2-x1|≤
LK-1
1-L
|x2-x1|
.(16分)
点评:本题考查的是抽象函数问题及其应用、反证法等.在解答的过程当中充分体现了反证法的思想、问题转化的思想以及绝对值不等式性质应用.值得同学们体会和反思.
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①对任意的x∈[1,2],都有Φ(2x)∈(1,2);
②存在常数L(0<L<1),使得对任意的x1,x2∈[1,2],都有|Φ(2x1)-Φ(2x2)|≤L|x1-x2|;
(1)设数学公式,证明:Φ(x)∈A;
(2)设Φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=Φ(2x0),那么,这样的x0是唯一的;
(3)设Φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=Φ(2xn),n=1,2,…,
证明:给定正整数k,对任意的正整数p,不等式数学公式成立.

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(1)设Φ(x)=
[
3]1+x,x∈[2,4]
,证明:Φ(x)∈A;
(2)设Φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=Φ(2x0),那么,这样的x0是唯一的;
(3)设Φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=Φ(2xn),n=1,2,…,
证明:给定正整数k,对任意的正整数p,不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|
成立.

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年江苏省连云港市东海县高级中学高三(上)期末数学模拟试卷(一)(解析版) 题型:解答题

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①对任意的x∈[1,2],都有Φ(2x)∈(1,2);
②存在常数L(0<L<1),使得对任意的x1,x2∈[1,2],都有|Φ(2x1)-Φ(2x2)|≤L|x1-x2|;
(1)设,证明:Φ(x)∈A;
(2)设Φ(x)∈A,如果存在x∈(1,2),使得x=Φ(2x),那么,这样的x是唯一的;
(3)设Φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=Φ(2xn),n=1,2,…,
证明:给定正整数k,对任意的正整数p,不等式成立.

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①对任意的x∈[1,2],都有Φ(2x)∈(1,2);
②存在常数L(0<L<1),使得对任意的x1,x2∈[1,2],都有|Φ(2x1)-Φ(2x2)|≤L|x1-x2|;
(1)设,证明:Φ(x)∈A;
(2)设Φ(x)∈A,如果存在x∈(1,2),使得x=Φ(2x),那么,这样的x是唯一的;
(3)设Φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=Φ(2xn),n=1,2,…,
证明:给定正整数k,对任意的正整数p,不等式成立.

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