Question

为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图．已知前4组的频数从左到右依次是等比数列{a_n}的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列{b_n}的前六项．
（Ⅰ）求等比数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求等差数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若规定视力低于5.0的学生属于近视学生，试估计该校新生的近视率μ的大小．

Answer 1

解：（I）由题意知：a₁=0.1×0.1×100=1，a₂=0.3×0.1×100=3．（2分）
∵数列{a_n}是等比数列，∴公比，
∴a_n=a₁q^n-1=3^n-1．（4分）
（II）∵a₁+a₂+a₃=13，
∴b₁+b₂+…+b₆=100-（a₁+a₂+a₃）=87，（6分）
∵数列{b_n}是等差数列，
∴设数列{b_n}公差为d，则得，
b₁+b₂+…+b₆=6b₁+15d∴6b₁+15d=87，∵b₁=a₄=27，∴d=-5，（8分）
∴b_n=32-5n（10分）
（III）μ=，
（或μ=）
答：估计该校新生近视率为91%．（14分）
分析：（I）利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标×组据；频数=频率×样本容量，求出等比数列的第一，二项，求出公比，利用等比数列的通项公式求出通项．
（II）利用等比数列的通项公式求出前三项；求出后六项的和；利用等差数列的前n项和公式求出公差；再利用等差数列的通项公式求出通项．
（III）据频率等于样本频数除以样本容量，求出近视率．
点评：本题考查频率分布直方图的纵坐标是、频率=纵坐标×组据、频数=频率×样本容量；
等比数列的通项公式、等差数列的通项公式及前n项和．