Question

（2011•韶关模拟）对函数f（x）=x•sinx，现有下列命题：
①函数f（x）是偶函数；
②函数f（x）的最小正周期是2π；
③点（π，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
④函数f（x）在区间[0，

π

2

]上单调递增，在区间[-

π

2

，0]上单调递减．其中是真命题的是（　　）

A．①④

B．②④

C．②③

D．①③

Answer 1

分析：根据函数奇偶性的定义，可证出f（x）是偶函数，得①正确；通过举反例，得到函数的周期不是2π，故②不正确；利用函数g（x）=f（x+π）不是奇函数，得到③不正确； 利用导数研究函数f（x）的单调性，结合函数是偶函数，可得④是真命题．由此可得正确答案．

解答：解：对于①，因为f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），f（x）是偶函数，故①正确；
对于②，因为f（

π

2

）=

π

2

，f（

5π

2

）=

5π

2

，而f（

π

2

）≠f（

5π

2

），所以函数的周期不是2π，故②不正确；
对于③，设f（x+π）=（x+π）sin（x+π）=g（x），则g（x）=-（x+π）sinx，g（-x）=（-x+π）sinx，不满足g（-x）=-g（x），
所以g（x）不是奇函数．因为g（x）图象不关于原点对称，所以f（x）的图象不可能关于（π，0）对称，故③不正确；
对于④，因为f'（x）=sinx+xcosx，当x∈[0，

π

2

]时，f'（x）≥0，所以f（x）在区间[0，

π

2

]上单调递增，
再结合函数为R上的偶函数，可得在区间[-

π

2

，0]上单调递减，故④正确．
综上所述，正确的命题是①④
故选A

点评：本题给出一个特殊的函数，要我们研究该函数的单调性、奇偶性和图象的对称性，着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性等知识点，属于基础题．