Question

4．函数f（x）=（a^x-a^-x）（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）的图象关于（　　）

• A． y轴对称
• B． 直线y=-x对称
• C． 坐标原点对称
• D． 直线y=x对称

Answer 1

分析 分析函数的奇偶性，进而可得函数图象关于y轴对称．

解答 解：∵函数f（x）=（a^x-a^-x）（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$），
∴函数f（-x）=（a^-x-a^x）（$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=[-（a^x-a^-x）]（$\frac{{2}^{x}}{{1-2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）=[-（a^x-a^-x）][-（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）]=（a^x-a^-x）（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=f（x），
∴函数f（x）=（a^x-a^-x）（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）为偶函数，
故函数f（x）=（a^x-a^-x）（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）的图象关于y轴对称，
故选：A

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，难度中档．