Question

已知函数f（x）=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）实数m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
（3）是否存在这样的实数m，同时满足：①m≤1；②当x∈（-∞，m]时，f（x）≥m恒成立．若存在，请求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

ax

x2+b

，知f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．由函数f（x）在x=1处取得极值2，得

f′(1)=0 f(1)=2

由此能求出f(x)=

4x

x2+1

．
（2）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．列表讨论得到f(x)=

4x

x2+1

的单调增区间为[-1，1]．由此能求出函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增时实数m的条件．
（3）当m≤-1时，由（2）得f（x）在（-∞，m]单调递减，要使f（x）≥m恒成立，必须f(x)min=f(m)=

4m

m2+1

≥m；当-1＜m＜1时，由（2）得f（x）在（-∞，-1）单调递减，在（-1，m]单调递增，
要使f（x）≥m恒成立，必须f（x）_min=f（-1）=-2≥m．由此能求出满足条件的m的取值范围．

解答：解：（1）已知函数f（x）=

ax

x2+b

，
∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．…（2分）
又函数f（x）在x=1处取得极值2，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

，
即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1.

，
∴f(x)=

4x

x2+1

．…（4分）
（2）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．…（5分）

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值-2	单调递增	极大值2	单调递减

所以f(x)=

4x

x2+1

的单调增区间为[-1，1]．…（7分）
若（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间，
则有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

，
解得-1＜m≤0．
即m∈（-1，0]时，（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间．…（9分）
（3）分两种情况讨论如下：
①当m≤-1时，由（2）得f（x）在（-∞，m]单调递减，
要使f（x）≥m恒成立，
必须f(x)min=f(m)=

4m

m2+1

≥m，…（10分）
因为m≤-1，

∴ 4 m2+1 ≤1，即m2+1≥4， ∴m2≥3

∴m≥

3

(舍去)或者m≤-

3

…（12分）
②当-1＜m＜1时，
由（2）得f（x）在（-∞，-1）单调递减，在（-1，m]单调递增，
要使f（x）≥m恒成立，
必须f（x）_min=f（-1）=-2≥m，
故此时不存在这样的m值．
综合①②得：满足条件的m的取值范围是m≤-

3

．         …（14分）

点评：本题考查函数解析式的求法，导数的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性，难度大，易出错．