Question

在数列{a_n}中a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*），a₁=2，
（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题设条件推导出

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，由此能证明数列{

an

2n

}是等差数列，并能求出数列{a_n}的通项公式
．
（2）由an=n•2n，由错位相减法能求出{a_n}前n项和S_n．

解答： 解：（1）在数列{a_n}中，
∵a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*），a₁=2，
∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，…（2分）
∴数列{

an

2n

}是以

a1

2

=1为首项，1为公差的等差数列，…（4分）

an

2n

=1+(n-1)=n，
∴an=n•2n．…（6分）
（2）∵an=n•2n，
∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，…①
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，…②…（8分）
由①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，…（10分）
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．…（12分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题．