Question

【题目】定义为个正数、、、的“均倒数”.已知正项数列的前项的“均倒数”为.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，若对一切恒成立，试求实数的取值范围；

（3）令，问：是否存在正整数使得对一切恒成立，如存在，求出值，否则说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.

【解析】

（1）设数列的前项和为，由题意可得，利用可求得数列的通项公式；

（2）求得，利用裂项法可求得，并得出，由题意可得，解此不等式即可得出实数的取值范围；

（3）解法一：利用定义判断数列的单调性，可求得数列的最大项，进而可求得的值；

解法二：解不等式可求得正整数的值.

（1）设数列的前项和为，

由于数列的前项的“均倒数”为，所以，，

当时，；

当时，.

也满足，因此，对任意的，；

（2），

对一切恒成立，

所以，解之得或，

即的取值范围是；

（3）解法一：，

由于，

当时，此时，数列单调递增；当时，此时，数列单调递减.

所以，当时，取得最大值，

即存在正整数使得对一切恒成立；

解法二：，

假设存在正整数使得，则为数列中的最大项，

由 得，解得，

又，，即存在正整数使得对一切恒成立