Question

15．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，4]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 91）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果；
（2）f（x）=x²-x+1在∈[-2，$\frac{1}{2}$]上递减，在[$\frac{1}{2}$，4]递增，即可求值域．

解答 解：设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因为f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，即2a=2，a+b=0∴a=1，b=-1
所以f（x）=x²-x+1
（2）f（x）=x²-x+1在∈[-2，$\frac{1}{2}$]上递减，在[$\frac{1}{2}$，4]递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（4）=13
∴f（x）的值域为[$\frac{3}{4}$，13]

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查二次函数的值域的求法，注意运用函数的单调性，属于基础题．