Question

设f(x)=2

3

cosx(

3

cosx-sinx)．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角α满足f(α)=3-2

3

，求tan

4

5

α的值．

Answer 1

分析：（I）函数f（x）表达式展开，再利用三角函数的降幂公式和辅助角公式化简，最后整理成标准形式：f（x）=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3，由函数y=Asin（ωx+φ）+K的有关公式，可以求出f（x）的最大值及最小正周期；
（II）将x=α代入（I）中求出的表达式，化简可得sin(2α-

π

3

)=1，再结合α为锐角，解这个关于α的等式，可得α=

5π

12

，从而得到tan

4

5

α=tan

π

3

=

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2

3

cosx(

3

cosx-sinx)=6cos2x-2

3

 sinxcosx
∴化简，得f（x）=3（1+cos2x）-

3

sin2x=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3
∵-1≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴当sin（2x-

π

3

）=-1时，f（x）的最大值为3+2

3

，
f（x）的最小正周期为

2π

2

=π；
（Ⅱ）由（I），得f(α)=-2

3

sin(2α-

π

3

)+3=3-2

3

∴sin(2α-

π

3

)=1
∴2α-

π

3

=

π

2

 +2kπ  （k为整数）
∵锐角α∈（0，

π

2

）
∴2α-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)，取k=0，得2α-

π

3

=

π

2

所以α=

5π

12

⇒

4

5

α=

π

3

∴tan

4

5

α=tan

π

3

=

3

点评：本题以含有正、余弦的二次函数式的化简求最值为载体，着重考查了三角函数恒等变换的应用和三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．