Question

在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，左右两个焦分别为F₁，F₂．过右焦点F₂且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），是否存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l 的对称点落在椭圆C上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设知

c a = 2 2 2b2 a =2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1，椭圆C的一个顶点为B（0，-b），知B（0，-

2

），若存在存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l的对称点B′落在椭圆C上，则直线BB′过点B（0，-

2

），且直线l垂直平分线段BB′，由此能求出直线l的方程．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，
左右两个焦分别为F₁，F₂．过右焦点F2且与轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=2，
∴

c a = 2 2 2b2 a =2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

2

，c=

2

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1，椭圆C的一个顶点为B（0，-b），
∴B（0，-

2

），
若存在存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l的对称点B′落在椭圆C上，
则直线BB′过点B（0，-

2

），且BB′⊥l，直线l垂直平分线段BB′，
∴直线BB′的方程为：y+

2

=-x，即x+y+

2

=0，
联立

x+y+ 2 =0 x2 4 + y2 2 =1

，解得B（0，-

2

），B′（-

4

3

2

，

2

3

），
∵直线l：y=x+m垂直平分线段BB′，
∴直线l：y=x+m过BB′的中点（-

2

3

2

，-

2

3

），
∴m=-

2

3

+

2 2

3

=

2

3

．
∴直线l的方程为y=x+

2

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的方程是否存在，综合性强，难度大，有一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．