Question

如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使．
（1）求证：面ABEF⊥面BCDE；
（2）求五面体ABCDEF的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）设原正六边形中，AC∩BE=O，DF∩BE=O'，证明DF⊥BE，证明OA⊥OC，然后证明面ABEF⊥面BCDE；
（2）说明AOC-FO'D是侧棱长（高）为2的直三棱柱，通过V_ABCDEF=2V_B-AOC+V_AOC-FO'D求出体积．
解答：解：（1）设原正六边形中，AC∩BE=O，DF∩BE=O'，
由正六边形的几何性质可知，AC⊥BE，DF⊥BE…（2分）
∵，
∴OA⊥面BCDE，
∴面ABEF⊥面BCDE；
（2）由BE⊥面AOC，BE⊥面FO'D知，面AOC∥面FO'D，故AOC-FO'D是侧棱长（高）为2的直三棱柱，
且三棱锥B-AOC和E-FO'D为大小相同的三棱锥…（9分）
∴V_ABCDEF=2V_B-AOC+V_AOC-FO'D=…（11分）
=…（12分）
点评：本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．