Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象与y轴交于(0，3

2

)，它在y右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（m，6）和(m+

π

2

，-6)．
（1）求函数f（x）的解析式及m的值；
（2）若锐角θ满足tanθ=2

2

，求f（θ）．

Answer 1

（1）由函数的图象在y右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（m，6）和(m+

π

2

，-6)，可得A=6，

1

2

•T=

1

2

•

2π

ω

=（m+

π

2

）-m=

π

2

，求得ω=2．
把点(0，3

2

)代入函数的解析式可得 6sin（2×0+φ）=3

2

，解得sinφ=

2

2

，再由|φ|＜

π

2

，求得φ=

π

4

．
故f（x）=6sin（2x+

π

4

）．
函数在y右侧的第一个最高点的坐标分别为（m，6），故2m+

π

4

=

π

2

，解得 m=

π

8

．
（2）若锐角θ满足tanθ=2

2

，θ∈（0，

π

2

），∴sinθ=

2 2

3

，cosθ=

1

3

．
f（θ）=6sin（2θ+

π

4

 ）=6sin2θ•cos

π

4

+6cos2θ•sin

π

4

=6

2

sinθcosθ+3

2

（2cos²θ-1）
=6

2

×

2 2

3

×

1

3

+3

2

（2×

1

9

-1）=

8-7 2

3

．