Question

（2012•泰安一模）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足2acosB=bcosC+ccosB．
（I）求角B的大小；
（II）求函数f(A)=2sin2(A+

π

4

)-cos(2A+

π

6

)的最大值及取得最大值时的A值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2acosB=bcosC+ccosB结合正弦定理可得cosB=

1

2

，从而可求角B的大小；
（Ⅱ）由降幂公式与辅助角公式可将f（A）整理为：f（A）=1+

3

sin（2A-

π

6

），由B=

π

3

，可求得0＜A＜

2π

3

，从而可求f（A）的最大值及取得最大值时的A值．

解答：解：（Ⅰ）∵2acosB=bcosC+ccosB，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：
2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC…2′
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，…4′
∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

…6′
（Ⅱ）f（A）=2sin2(A+

π

4

)-cos（2A+

π

6

）
=1-cos（2A+

π

2

）-cos（2A+

π

6

）
=1+sin2A-

3

2

cos2A+

1

2

sin2A
=1+

3

2

sin2A-

3

2

cos2A
=1+

3

sin（2A-

π

6

）…9′
∵在△ABC中，B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
∴当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，f（A）取最大值．
∴f（A）_max=1+

3

…12′

点评：本题考查三角函数中的恒等变换及正弦定理的应用，突出降幂公式与辅助角公式的应用，属于中档题．