Question

已知直线l：mx-y+1-m=0与圆C：x²+（y-1）²=5交于A、B两点；
（Ⅰ）若，求直线l的倾斜角；
（Ⅱ）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）圆C上是否存在一点P使得△ABP为等边三角形？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）圆心C（0，1）到直线的距离，
所以，解得，
所以，倾角；…（4分）
（Ⅱ）直线l过定点N（1，1），设动点M（x，y），则，
所以（x，y-1）•（x-1，y-1）=0，化简得；…（9分）
（Ⅲ）不存在．假设存在符合条件的P点，则由△ABP是等边三角形知，
其外接圆与内切圆的圆心均C（0，1），外接圆半径，
内切圆半径r等于圆心（0，1）到直线AB的距离，
又由等边三角形的性质得，所以有，，m无解，故不存在这样的点P．…（13分）
分析：（Ⅰ）直接利用，圆心到直线的距离，半径满足勾股定理，求出m的值，即可求直线l的倾斜角；
（Ⅱ）设出动点坐标，利用垂直关系，数量积为0，直接求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）通过由△ABP是等边三角形，其外接圆与内切圆的圆心相同，通过外接圆半径，内切圆半径r等于圆心到直线AB的距离，推出，方程无解，则不存在否则存在．
点评：本题考查轨迹方程分求法，点到直线的距离公式的应用，直线的倾斜角的求法，考查计算能力，转化思想．