Question

已知圆C：x²+y²-8y+12=0，直线l经过点D（-2，0），
（Ⅰ）求以线段CD为直径的圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）将圆C化成标准方程，得圆心为C（0，4），半径为2．从而得到CD的中点E（-1，2），得所求圆心坐标，再根据两点的距离公式算出半径r=

5

，即得以线段CD为直径的圆E的方程；
（2）设直线l的方程为：y-0=k（x+2），根据题意等腰Rt△ABC中|AB|=

2

|CA|=2

2

，利用点到直线的距离公式建立关于k的等式，解之可得实数k的值，得到直线l的方程．

解答：解：（1）将圆C的方程x²+y²-8y+12=0配方得标准方程为x²+（y-4）²=4，
则此圆的圆心为C（0，4），半径为2．----（2分）
所以CD的中点E（-1，2），可得|CD|=

22+42

=2

5

，----（4分）
∴r=

5

，得圆E的方程为（x+1）²+（y-2）²=5；----（5分）
（2）设直线l的方程为：y-0=k（x+2）?kx-y+2k=0----（6分）
∵|CA|=2，且△ABC为等腰直角三角形，
∴|AB|=

2

|CA|=2

2

，
因此圆心C到直线l的距离d=

|0-4+2k|

k2+1

=

2

2

|CA|=

2

．----（8分）
解之得k=1或k=7，
所求直线l的方程为：x-y+2=0或7x-y+14=0----（10分）

点评：本题求圆的方程和直线l的方程，着重考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式和两点间的距离公式等知识，属于中档题．