Question

12．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为棱BB₁的中点，则下列结论错误的是（　　）

• A． B₁D∥平面MAC
• B． B₁D⊥平面A₁BC₁
• C． 二面角M-AC-B等于45°
• D． 异面直线BC₁与AC所形成的角等于60°

Answer 1

分析 连结BD，交AC于O，连结OM，则OM∥B₁D，由此得到B₁D∥平面MAC；由已知推导出A₁C₁⊥B₁D，BC₁⊥B₁D，从而B₁D⊥平面A₁BC₁；由AB=BC，AM=CM，O是AC的中点，得到∠MOB是二面角M-AC-B的平面角，由此能求出二面角M-AC-B的大小；由AC∥A₁C₁，得∠A₁C₁B是异面直线BC₁与AC所形成的角，由此能求出异面直线BC₁与AC所形成的角的大小．

解答 解：连结BD，交AC于O，连结OM，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABCD是正方形，∴O是BD中点，
∵M为棱BB₁的中点，∴OM∥B₁D，
∵B₁D?平面MAC，OM?平面MAC，
∴B₁D∥平面MAC，故A正确；
∵A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥DD₁，B₁D₁∩DD₁=D₁，
∴A₁C₁⊥平面B₁DD₁，∴A₁C₁⊥B₁D，
同理，BC₁⊥B₁D，
又A₁C₁∩BC₁=C₁，∴B₁D⊥平面A₁BC₁，故B正确；
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，
∵BM⊥平面ABCD，∴AB=BC=2，AM=CM=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
O是AC的中点，OB=$\frac{1}{2}BD$=$\sqrt{2}$，
∴∠MOB是二面角M-AC-B的平面角，
∴tan$∠MOB=\frac{MB}{OB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠MOB=arctan\frac{\sqrt{2}}{2}$，故C错误；
∵AC∥A₁C₁，∴∠A₁C₁B是异面直线BC₁与AC所形成的角，
∵A₁B=BC₁=A₁C₁，∴∠A₁CB₁=60°，
∴异面直线BC₁与AC所形成的角等于60°，故D正确．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的合理运用．