Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，E为BC上一点，BE=2EC，且DE=

3

．将梯形ABCD沿DE折成直二面角B-DE-C，如图2所示．

（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面ABED；
（Ⅱ）设点A关于点D的对称点为G，点M在△BCE所在平面内，且直线GM与平面ACE所成的角为60°，试求出点M到点B的最短距离．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）通过证明DE⊥CE，BE⊥CE．推出CE⊥平面ABED，利用CE?平面AEC，证明平面AEC⊥平面ABED．  
（Ⅱ）通过DE，BE，CE两两互相垂直，建立空间直角坐标系E-xyz，求出E，A，B，C，D，G坐标，求出平面ACE的一个法向量为

n

=(x，y，z)，利用直线GM与平面ACE所成的角为60°，通过数量积得到y²=2x，求出MB|的表达式，利用二次函数的最值，即可点M到点B的最短距离．

解答： 满分（13分）．
解：（Ⅰ）证明：在图1中，由平几知识易得DE⊥BC，…（1分）
在图2中，∵DE⊥BE，DE⊥CE，
∴∠BEC是二面角B-DE-C的平面角，…（2分）
∵二面角B-DE-C是直二面角，∴BE⊥CE．…（3分）
∵DE∩BE=E，DE，BE?平面ABED，∴CE⊥平面ABED，…（4分）
又CE?平面AEC，∴平面AEC⊥平面ABED．  …（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE，BE，CE两两互相垂直，
以E为原点，分别以EB，EC，ED为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示．
…（6分）
则E（0，0，0），A(1，0，

3

)，B（2，0，0），C（0，1，0），D(0，0，

3

)，G(-1，0，

3

)，

EA

=(1，0，

3

)，

EC

=(0，1，0)．
设平面ACE的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

EA • n =0 EC • n =0

，即

x+ 3 z=0 y=0

．取x=

3

，得

n

=(

3

，0，-1)．…（8分）
设M（x，y，0），则

GM

=(x+1，y，-

3

)．
∵直线GM与平面ACE所成的角为60°，∴

| GM • n |

|GM |• |n|

=sin60°，…（10分）
即

| 3 (x+1)+ 3 |

2• (x+1)2+y2+3

=

3

2

，化简得y²=2x，…（11分）
从而有|MB|=

(x-2)2+y2

=

(x-2)2+2x

=

x2-2x+4

=

(x-1)2+3

，…（12分）
所以，当x=1时，|MB|取得最小值

3

．
即点M到点B的最短距离为

3

．…（13分）

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、函数等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．