Question

如图，第n（n∈N^*）个图形是由正n+2边形“扩展”而来，例如第一个图形由正三边形“扩展”而来，…，则前30个图形中共有

11960

个顶点．

Answer 1

分析：根据题意，依次分析计算前几个图形中顶点的个数，可以归纳出第n个图形中的顶点数目，结合数列知识，运用分组求和法，计算可得答案．

解答：解：根据题意，由已知中的图形我们可以得到：
n=1时，即第一个图形中顶点共有3×4=12个，
n=2时，即第二个图形中顶点共有4×5=20个，
n=3时，即第三个图形中顶点共有5×6=30个，
n=4时，即第四个图形中顶点共有6×7=42个，
…
依此类推，第n个图形共有顶点（n+2）（n+3）=n²+5n+6个，
设前30个图形中共有顶点数目为S，则S=1²+2²+3²+…+30²+5×1+5×2+…+5×30+6×30=11960；
故答案为11960．

点评：本题考查归纳推理的运用，涉及数列求和的方法，关键是分析出每个图形中顶点的个数．