Question

（本小题满分13分）
如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝CC₁，M为AB的中点。

（Ⅰ）求证：BC₁∥平面MA₁C；
（Ⅱ）求证：AC₁⊥平面A₁BC。

Answer 1

（Ⅰ）设AC₁∩A₁C=O，连结MO，四边形AA₁C₁C为矩形，AO=OC_1，AO=OC₁，AM=MB，所以MO∥BC_1，所以∥平面MA₁C（Ⅱ）矩形AA₁C₁C中，因为AC=CC₁，所以AC₁⊥A₁C，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，所以CC₁⊥BC，因为AC⊥BC BC⊥平面ACC₁A_1，所以BC⊥AC_1，所以AC₁⊥平面A₁BC

试题分析：（Ⅰ）如图，设AC₁∩A₁C=O，连结MO，

因为直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，
所以四边形AA₁C₁C为矩形，
所以AO=OC₁,
在△AC₁B中，因为AO=OC₁，AM=MB，
所以MO∥BC₁.                      3分
又因为平面MA₁C，MO平面MA₁C，
所以∥平面MA₁C。             6分
（Ⅱ）在矩形AA₁C₁C中，因为AC=CC₁，
所以AC₁⊥A₁C。                  8分
因为直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，
所以CC₁⊥BC，
又因为AC⊥BC，AC∩CC₁=C，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，        10分
所以BC⊥AC₁。               11分
又因为BC∩A₁C=C，AC₁⊥A₁C，
所以AC₁⊥平面A₁BC。      13分
点评：平面外一直线与平面内一直线平行，则直线平行于平面；一条直线垂直于平面内两条相交直线，则直线垂直于平面