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20.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB?α.B∈l,AB与l所成的角为30°.求直线AB与平面β所成的角的正弦值.

分析 根据线面角的定义得到∠ABC为AB与平面β所成的角,结合三角形的边角关系进行求解.

解答 解:过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线.垂足为D
连结AD,有三垂线定理可知AD⊥l,
故∠ADC为二面角α-l-β的平面角,为60°
又由已知,∠ABD=30°连结CB,则∠ABC为AB与平面β所成的角,
设AD=2,则AC=$\sqrt{3}$,CD=1

AB=$\frac{AD}{{sin{{30}^0}}}$=4
∴sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$.

点评 本题主要考查线面角的求解,根据线面角的定义作出对应的平面角是解决本题的关键.考查学生的转化能力.

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