【题目】某河道中过度滋长一种藻类,环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因,第t分钟内投放净化剂的路径长度 (单位:m),净化剂净化水体的宽度 (单位:m)是时间t(单位:分钟)的函数: (由单位时间投放的净化剂数量确定,设为常数,且).
(1)试写出投放净化剂的第t分钟内净化水体面积的表达式;
(2)求的最小值.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1)根据题意去掉绝对值写出分段函数的表达式;(2)当40≤t≤60且t∈N*时,S(t)= 在40≤t≤60时单调递减;当t=60时,S(t)有最小值2a2+120.当1≤t<40且t∈N*时,S(t)= ≥100+a2+20a;①若a=1或2或3时 S(t)在1≤t<40范围中有最小值a2+2a +100.在40≤t≤60时S(t)有最小值2a2+120.当a=1时,100+a2+20a=121<122=2a2+120,故S(t)有最小值121;当a=2或a=3时,100+a2+20a>2a2+120,故S(t)有最小值2a2+120.②若a≥4且1≤t<40时, S(t+1)=100+a2+t+1+≤S(t)=100+a2+t+, S(t)在1≤t≤60时单调递减.当t=60时,S(t)有最小值2a2+120.
试题解析:(1)由题意, .
(2)当40≤t≤60且t∈N*时,S(t)= ,当t增加时减少,
所以S(t)在40≤t≤60时单调递减;当t=60时,S(t)有最小值2a2+120.
当1≤t<40且t∈N*时,S(t)= ≥100+a2+20a;
①若a=1或2或3时;当t=10a时,上述不等式中的等号成立,
S(t)在1≤t<40范围中有最小值a2+2a +100.
又在40≤t≤60时S(t)有最小值2a2+120.
当a=1时,100+a2+20a=121<122=2a2+120,故S(t)有最小值121;
当a=2或a=3时,100+a2+20a>2a2+120,故S(t)有最小值2a2+120.
②若a≥4且1≤t<40时,因为≤0,
所以S(t+1)=100+a2+t+1+≤S(t)=100+a2+t+,
故S(t)在1≤t≤40中单调递减;又S(t)在40≤t≤60时单调递减,
所以S(t)在1≤t≤60时单调递减.
所以,当t=60时,S(t)有最小值2a2+120.
综上,若a=1,当t=10时,S(t)有最小值121;即第10天的销售额最少,为121千元.
若a≥4且a∈N*,当t=60时,S(t)有最小值2a2+120.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图,则f(x)的解析式和S=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(2014)+f(2015)+f(2016)的值分别为( )
A.f(x)= sin x+1,S=2016
B.f(x)= cos x+1,S=2016
C.f(x)= sin x+1,S=2016.5
D.f(x)= cos x+1,S=2016.5
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【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图像如图,直线y=0在原点处与函数图像相切,且此切线与函数图像所围成的区域(阴影)面积为 .
(1)求f(x)的解析式
(2)若常数m>0,求函数f(x)在区间[﹣m,m]上的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线: ,以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线: .
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线,求的参数方程;
(2)在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】己知f(x)=x2﹣2x+2,在[ ,m2﹣m+2]上任取三个数a,b,c,均存在以 f(a),f(b),f(c)为三边的三角形,则m的取值范围为( )
A.(0,1)
B.[0, )
C.(0, ]
D.[ , ]
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且直线与曲线交于,两点.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程及直线恒过的定点的坐标;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若,求直线的普通方程.
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【题目】朱世杰是历史上最未打的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”,有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日?”.其大意为:“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天发大米3升,共发出大米40392升,问修筑堤坝多少天”.在这个问题中,前5天应发大米( )
A. 894升 B. 1170升 C. 1275升 D. 1457升
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【题目】已知椭圆: 的上下两个焦点分别为, ,过点与轴垂直的直线交椭圆于、两点, 的面积为,椭圆的离心力为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知为坐标原点,直线: 与轴交于点,与椭圆交于, 两个不同的点,若存在实数,使得,求的取值范围.
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